染雾八年级寒假作业和答案（数学）
导语：我长大有写东西我们无能为力于是最后躲避最后的最后面对也只能面对，因为我们要活着。活着就不能被打败。下面是小编为大家整理的，数学知识。想要知更多的资讯，请多多留意CNFLA学习网!
1、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15. 求证：△PBC是正三角形.
2如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.
求证：四边形A2B2C2D2是正方形.
证明：如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点， 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A2E= 1 2 A1B1= 1 2
B1C1=FB2，EB2= 1 2 AB= 1 2
BC=FC2，
∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°， ∴所以∠GEB2=∠GFQ， ∴∠B2FC2=∠A2EB2， 可得△B2FC2≌△A2EB2， 所以A2B2=B2C2，
又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2， 从而可得∠A2B2 C2=90°， 同理可得其它边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点.
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.
分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N， 在梯形MEFN中，WE平行NF 因为P为EF中点，PQ平行于两底 所以PQ为梯形MEFN中位线， 所以PQ=(ME+NF)/2
又因为，角0CB+角OBC=90°=角NBF+角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B=角Rt=角BNF CB=BF
所以△OCB全等于△NBF △MEA全等于△OAC(同理) 所以EM=AO，0B=NF 所以PQ=AB/2.
F
5如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F.
6如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F. 求证：AE=AF.
证明：连接BD，作CH⊥DE于H，∵正方形ABCD，
∴∠DGC=90°，GC=DG， ∵AC∥DE，CH⊥DE，
∴∠DHC=∠GCH=∠DGC=90°， ∴四边形CGDH是正方形. 由AC=CE=2GC=2CH， ∴∠CEH=30°，
∴∠CAE=∠CEA=∠AED=15°， 又∵∠FAE=90°+45°+15°=150°， ∴∠F=180°-150°-15°=15°， ∴∠F=∠AEF， ∴AE=AF.
7设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE.
∠BAP=∠FPC AG=PC
∠AGP=∠PCF
，
∴△AGP≌△PCF(ASA) ∴PA=PF.
8已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5. 求：∠APB的度数.
绕点B顺时针旋转△ABP60°得到△BCQ，连接PQ，∵∠PBQ=60°，BP=BQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ=PB=4， 而PC=5，PQ=4，
在△PQC中，PQ2+QC2=PC2， ∴△PQC是直角三角形， ∴∠BQC=60°+90°=150°， ∴∠APB=150°.
9设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA. 求证：∠PAB=∠PCB.
证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC， ∵AD∥EP，AD∥BC.
∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形， ∴AE∥DP，BE∥PC， ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，
∴AEBP共圆(一边所对两角相等). ∴∠BAP=∠BEP=∠BCP， ∴∠PAB=∠PCB.
10行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE=CF.求证：∠DPA=∠DPC.
四边形
ABCD
2
=S△DFC， ∴ AE•DQ 2 = DG•FC 2 ，
又∵AE=FC， ∴DQ=DG，
∴PD为∠APC的角平分线，
∴∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理).
11设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：
≤L<2.
证明：(1)顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形. 即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上，
即如下图：可得最小L= 3
;
(2)过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F. 由于∠APD>∠AFP=∠
ADP
， 推出AD>AP ① 又∵BD+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又∵DF=AF ④ 由①②③④可得：最大L<2; 由(1)和(2)即得： 3
≤L<2.
12已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点， 求PA+PB+PC的最小值.
可得△PBE为等边三角形.
解：顺时针旋转△BPC60度，
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF. BM=BF•cos30°=BC•cos30°= 3
2 ， 则AM=1+ 3
2 =
2+
3
2 ，
∵AB=BF，∠ABF=150° ∴∠BAF=15° 既得AF= AM cos15°
∠EBA=∠FCE AB=AC
∠A=∠A
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)， ∴BE=CF，
∵BG=CG=BC(等边三角形的三边相等) ∴FG=GE，
∴△FGE为等边三角形， ∴∠EFG=∠CBG=60°， ∴EF∥BC，
∴∠AFE=∠ABC=80°， ∴∠DFG=180°-80°-60°=40°①，
在△BCD中，∠BDC=180°-∠ABC-∠BCD=180°-80°-(80°-30°)=50°
(180°-20°)=80°，
∴∠DGF=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°②， ∴∠DFG=∠DGF， ∴DF=DG，
在△DFE与△DGE中，
EF=EG DF=DG
DE=DE
，
∴△DFE≌△DGE(SSS)， ∴∠FED=∠BED，
∵∠GEF=60°(等边三角形的每一个角都等于60°)， ∴∠BED= 1 2
∠GEF=30°. 故答案为：30°.
15如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P
与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB. (1)求证：① PE=PD ; ② PE⊥PD; (2)设AP=x, △PBE的面积为y. ① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围; ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. (1)证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， △AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度. 又∵PB=PE， ∴BF=FE， ∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD(SAS). ∴PE=PD. ②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度. ∴∠DPE=90度. ∴PE⊥PD.
D
B
E
16如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG
为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的.长度关系及所在直线的位置关系：
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系; ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6)，且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立?若成立，以图5为例简要说明理由.
(3)在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=
1
，求BE2DG2的值. 2
解：(1)①BG⊥DE，
BG=DE;
②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCG=∠DCE， ∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE， 又∠CBG+∠BHC=90°， ∴∠CDE+∠DHG=90°， ∴BG⊥DE.
(2)∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb， ∴ BC DC
=
CG CE = b a ，
又∠BCG=∠DCE， ∴△BCG∽△DCE， ∴∠CBG=∠CDE， 又∠CBG+∠BHC=90°， ∴∠CDE+∠DHG=90°， ∴BG⊥DE.
(3)连接BD、EG.
根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，
∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°
∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.
