染雾高中数学点、线、面之间的位置关系 篇一
在高中数学中，点、线和面是非常基础的概念，它们之间的位置关系也是我们学习的重点之一。在这篇文章中，我们将探讨点、线和面之间的位置关系，并举例说明。
首先，我们来讨论点和线之间的位置关系。在平面几何中，一条直线上的点是无限多的，而一条直线外的点则不属于该直线。例如，在坐标系中，我们可以取任意一条直线，然后在该直线上随机选取一个点，这个点就位于该直线上。而如果我们在该直线外任意选取一个点，那么这个点就不在该直线上。这种关系在三维空间中同样适用。
接下来，我们来讨论点和面之间的位置关系。在平面几何中，一个平面上的点是无限多的，而一个平面外的点则不属于该平面。例如，在三维空间中，我们可以取一个平面，然后在该平面上随机选取一个点，这个点就位于该平面上。而如果我们在该平面外任意选取一个点，那么这个点就不在该平面上。
最后，我们来讨论线和面之间的位置关系。在平面几何中，一条直线和一个平面的交点可以是无限多的，也可以是一个，也可以是零个。例如，在三维空间中，我们可以取一个平面和一条直线，如果这条直线与该平面相交，那么它们的交点可以是无限多的。而如果这条直线与该平面平行，那么它们的交点就是零个。此外，如果这条直线完全位于该平面内，那么它们的交点就是一个。
通过以上的例子，我们可以看出点、线和面之间的位置关系是十分复杂的。在实际应用中，我们常常需要通过分析点、线和面的位置关系来解决问题。例如，在计算机图形学中，我们需要确定一个点是否在一个多边形内部，或者一条线是否与一个平面相交，这些问题都需要我们掌握点、线和面之间的位置关系。
总结起来，点、线和面之间的位置关系是高中数学中的基础知识，它们之间的关系是复杂而有趣的。通过理解和应用这些位置关系，我们可以更好地解决实际问题，也能更好地理解和应用数学知识。
高中数学点、线、面之间的位置关系 篇二
在高中数学中，点、线和面之间的位置关系是我们学习的重点之一。在这篇文章中，我们将继续探讨点、线和面之间的位置关系，并举例说明。
首先，我们来讨论线和线之间的位置关系。在平面几何中，两条直线可以相交，也可以平行，还可以重合。例如，在坐标系中，我们可以取两条直线，如果这两条直线有一个交点，那么它们相交；如果这两条直线的斜率相等且不相交，那么它们平行；如果这两条直线完全重合，那么它们重合。
接下来，我们来讨论线和面之间的位置关系。在三维空间中，一条直线可以与一个平面相交，也可以平行于一个平面，还可以位于一个平面内。例如，在三维坐标系中，我们可以取一条直线和一个平面，如果这条直线与该平面有一个交点，那么它们相交；如果这条直线与该平面平行，那么它们平行；如果这条直线完全位于该平面内，那么它们位于一个平面内。
最后，我们来讨论面和面之间的位置关系。在三维空间中，两个平面可以相交，也可以平行，还可以重合。例如，在三维坐标系中，我们可以取两个平面，如果这两个平面有一条公共直线，那么它们相交；如果这两个平面平行，那么它们平行；如果这两个平面完全重合，那么它们重合。
通过以上的例子，我们可以看出点、线和面之间的位置关系是十分复杂的。在实际应用中，我们常常需要通过分析点、线和面的位置关系来解决问题。例如，在建筑设计中，我们需要确定一条管道是否与一面墙相交，或者一个房间是否位于另一个房间内部，这些问题都需要我们掌握点、线和面之间的位置关系。
总结起来，点、线和面之间的位置关系是高中数学中的重要内容，它们之间的关系是复杂而有趣的。通过理解和应用这些位置关系，我们可以更好地解决实际问题，也能更好地理解和应用数学知识。
高中数学点、线、面之间的位置关系 篇三
1.直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.
2.存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.
3.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段;
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长;
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长;
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
4.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°<θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ;
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
5.直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种：
(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
6.二面角及二面角的平面角
(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°<θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或
其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的'面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
点击查看：高中数学公式原理
7.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段;
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
8.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.
③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.
9.平行平面的距离
(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.
10.异面直线的距离
(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
(2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
