染雾高考数学三角形余弦定理公式及证明 篇一
三角形是数学中的基本图形之一，其性质和定理在高考数学中占据了重要的地位。其中，三角形的余弦定理是一个重要的定理，它与三角形的边长和角度之间的关系有着密切的联系。本文将介绍三角形余弦定理的公式及其证明过程。
余弦定理的公式如下：
在任意三角形ABC中，记三边分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则有：
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
证明过程如下：
首先，我们在平面直角坐标系中取点A(0,0)，点B(b,0)，点C(c·cosA,c·sinA)，其中A为原点，B在x轴上，C为一般点。我们可以通过计算向量AB和AC的内积来得到余弦C的值。
向量AB的坐标表示为(b,0)；向量AC的坐标表示为(c·cosA,c·sinA)。
根据向量的内积公式，我们可以得到AB和AC的内积为：
AB·AC = (b,0)·(c·cosA,c·sinA) = b·c·cosA
另一方面，我们可以通过计算向量BC的模长来得到AB和AC的模长的关系。
向量BC的坐标表示为(c·cosA-b,c·sinA)。
根据向量的模长公式，我们可以得到BC的模长为：
|BC| = √[(c·cosA-b)2 + (c·sinA)2]
由三角形的余弦定理可知，c2 = a2 + b2 - 2abcosC，即：
c2 = b2 + (c·cosA-b)2 + (c·sinA)2 - 2b√[(c·cosA-b)2 + (c·sinA)2]cosC
化简上式，得：
c2 = b2 + c2cos2A - 2bc·cosA + b2cos2A - 2bc·sinA·cosA + b2sin2A - 2b√[(c·cosA-b)2 + (c·sinA)2]cosC
化简后可得：
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
综上所述，我们得到了三角形的余弦定理公式及其证明过程。
高考数学三角形余弦定理公式及证明 篇二
三角形是数学中的重要图形，其性质和定理在高考数学中占据了重要的地位。其中，三角形的余弦定理是一个重要的定理，它与三角形的边长和角度之间的关系有着密切的联系。本文将介绍三角形余弦定理的公式及其证明过程。
余弦定理的公式如下：
在任意三角形ABC中，记三边分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则有：
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
证明过程如下：
我们可以利用向量的知识来证明三角形的余弦定理。
在平面直角坐标系中，我们取点A(0,0)，点B(b,0)，点C(c·cosA,c·sinA)，其中A为原点，B在x轴上，C为一般点。
首先，我们可以通过计算向量AB和AC的内积来得到余弦C的值。
向量AB的坐标表示为(b,0)；向量AC的坐标表示为(c·cosA,c·sinA)。
根据向量的内积公式，我们可以得到AB和AC的内积为：
AB·AC = (b,0)·(c·cosA,c·sinA) = b·c·cosA
另一方面，我们可以通过计算向量BC的模长来得到AB和AC的模长的关系。
向量BC的坐标表示为(c·cosA-b,c·sinA)。
根据向量的模长公式，我们可以得到BC的模长为：
|BC| = √[(c·cosA-b)2 + (c·sinA)2]
由三角形的余弦定理可知，c2 = a2 + b2 - 2abcosC，即：
c2 = b2 + (c·cosA-b)2 + (c·sinA)2 - 2b√[(c·cosA-b)2 + (c·sinA)2]cosC
化简上式，得：
c2 = b2 + c2cos2A - 2bc·cosA + b2cos2A - 2bc·sinA·cosA + b2sin2A - 2b√[(c·cosA-b)2 + (c·sinA)2]cosC
化简后可得：
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
综上所述，我们得到了三角形的余弦定理公式及其证明过程。三角形的余弦定理是高考数学中的重要定理，它可以帮助我们理解和解决与三角形相关的问题。在高考数学中，我们可以运用余弦定理来计算三角形的边长和角度，解决各种实际问题。因此，掌握和理解三角形的余弦定理对于高考数学的学习和应试非常重要。
高考数学三角形余弦定理公式及证明 篇三
高考数学三角形余弦定理公式及证明2017
导语：人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的潜力，只要立志发挥它，就一定能渡过难关。下面是小编为大家整理的，数学知识。更多相关信息请关注CNFLA学习网!
1什么是三角形余弦定理
三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的.重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
2三角形余弦定理的公式
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a²=b²+c²-bc·cosA
b²=a²+c²-ac·co
c²=a²+b²-ab·cosC
也可表示为：
cosC=(a²+b²-c²)/ab
cosB=(a²+c²-b²)/ac
cosA=(c²+b²-a²)/bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。
3三角形余弦定理的证明
平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗体字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ
∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)
再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC
即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinBc)²+(a-cosBc)²
b²=(sinB*c)²+a²-2accosB+(cosB)²c²
b²=(sinB2+cosB2)c²-2accosB+a²
b²=c²+a²-2accosB
cosB=(c²+a²-b²)/2ac
