高中数学联赛常用定理整理(精简3篇)

时间:2014-05-03 04:47:46
染雾
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高中数学联赛常用定理整理 篇一

在高中数学联赛中,常用定理是学生们备战比赛的重要资料。这些定理不仅在解题过程中起到了指导和帮助作用,还能提高学生们的数学思维能力和解题技巧。本文将整理和介绍一些常用的高中数学定理。

一、数列定理

1. 等差数列前n项和公式:Sn = n(a1 + an) / 2,其中Sn表示前n项和,a1为首项,an为末项。

2. 等比数列前n项和公式:Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q),其中Sn表示前n项和,a1为首项,q为公比。

3. 斐波那契数列性质:F(n) = F(n-1) + F(n-2),其中F(n)表示第n项,F(1) = 1,F(2) = 1。

二、三角函数定理

1. 三角函数和差化积公式:sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB,cos(A ± B) = cosAcosB ? sinAsinB。

2. 三角函数倍角公式:sin2A = 2sinAcosA,cos2A = cos^2A - sin^2A。

3. 三角函数半角公式:sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2],cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]。

三、平面几何定理

1. 直角三角形勾股定理:c^2 = a^2 + b^2,其中c为斜边,a、b为直角边。

2. 圆的面积公式:S = πr^2,其中S表示面积,r表示半径。

3. 相似三角形定理:对应角相等,对应边成比例。

四、解析几何定理

1. 直线与圆的位置关系:直线与圆相切时,切点到圆心的线段垂直于直线;直线与圆相交时,交点到圆心的线段不垂直于直线。

2. 点到直线的距离公式:点P(x0, y0)到直线Ax + By + C = 0的距离为d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)。

3. 两条直线的夹角公式:两条直线的斜率分别为k1和k2,夹角θ的tan值为tanθ = |(k1 - k2) / (1 + k1k2)|。

以上只是一小部分高中数学联赛常用定理的整理,掌握这些定理对于参加数学联赛非常有帮助。在备战比赛时,同学们可以结合这些定理进行题目的分析和解答,提高解题速度和准确性。

高中数学联赛常用定理整理 篇二

在高中数学联赛中,常用定理是学生们备战比赛的重要工具。这些定理不仅在解题过程中起到了指导和帮助作用,还能提高学生们的数学思维能力和解题技巧。本文将继续整理和介绍一些常用的高中数学定理。

五、微积分定理

1. 导数的四则运算法则:常数导数为0,导数的和等于函数和的导数,导数的差等于函数差的导数,导数的积等于函数积的导数。

2. 反函数的导数:如果函数y = f(x)在x点可导且f'(x) ≠ 0,则反函数y = f^(-1)(x)在y点可导且(f^(-1))'(y) = 1 / f'(x)。

3. 微分中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,那么在(a, b)内至少存在一点c,使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。

六、概率与统计定理

1. 基本事件概率:对于随机试验的基本事件A,P(A) = n(A) / n(S),其中n(A)表示事件A的样本点个数,n(S)表示样本空间的样本点个数。

2. 条件概率:对于事件A和B,P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。

3. 期望值计算:对于离散型随机变量X,E(X) = ∑(x * P(X = x)),其中x表示随机变量的取值,P(X = x)表示X取到x的概率。

七、数论定理

1. 质数定理:当n趋向于无穷大时,π(n) ~ n / ln(n),其中π(n)表示不超过n的质数个数。

2. 唯一分解定理:任何一个大于1的整数都可以唯一地分解成若干个质数的乘积。

3. 同余定理:对于整数a、b和正整数m,如果a与b对m同余,即a ≡ b(mod m),则a与b除以m的余数相同。

以上只是一小部分高中数学联赛常用定理的整理,掌握这些定理对于参加数学联赛非常有帮助。希望同学们在备战比赛时能够灵活运用这些定理,提高解题的效率和准确性。

高中数学联赛常用定理整理 篇三

2016高中数学联赛常用定理整理

  导语:全国高中数学联赛,在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会主办的中国数学奥林匹克,在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。经过集训队的选拔,将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队,参加国际数学奥林匹克!欢迎阅读,仅供参考,更多相关的知识,请关注CNFLA学习网的栏目!

  高中数学联赛常用定理

  常用定理 1、费马点 (I)基本概念

  定义:在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

  (1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

  (2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 (II)证明

  我们要如何证明费马点呢:

  费马点证明图形

  (1)费马点对边的张角为120度。

  △CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P

  由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度,∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1

  将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,

  又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A

1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短

  在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1

  平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易,也较容易研究。 (1)在凸四边形ABCD中,费马点为两对角线AC、BD交点P。

  费马点

  (2)在凹四边形ABCD中,费马点为凹顶点D(P)。 经过上述的推导,我们即得出了三角形中费马点的找法:

  当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 (III)费马点性质:

  费马点

  (1)平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时,距离之和最小。 特殊三角形中:

  (2).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

  (3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

  二、梅涅劳斯定理和塞瓦定理 1、梅涅劳斯定理

  梅涅劳斯定理证明

  梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边

  AF

  AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么证明:做平行线即可,过程略 2、角元形式:

  (1)第一角元形式的梅涅劳斯定理

  FB

  

  BCCD

  

  DOOA

  1

  如图:若E,F,D三点共线,则

  (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 (2)第二角元形式的梅涅劳斯定理

  在平面上任取一点O,且EDF共线,则(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 三、塞瓦定理 塞瓦定理

  在△ABC内任取一点O,

  直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

  而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②&pide;①:即得:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明

  ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

  同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 塞瓦定理推论

  1.设E是△ABD内任意一点,AE、BE、DE分别交对边于C、G、F,则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

  因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1,(塞瓦定理)所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得:(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式

  AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:

  (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证

  3.如图,对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是: (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

  由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点

  设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定 理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

  四、西姆松定理

  西姆松定理图示

  西姆松定理是一个几何定理。表述为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。 西姆松定理说明 相关的结果有:

  (1)称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

  (3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。 (4)从一点向三角形的三边所引垂线的'垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明

  证明一: △ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF.

  易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,(∵都是∠ABP的补角) 且∠PDE=∠PCE

  ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180°

  ④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.

  证明二: 如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和

  M、P、L、C分别四点共圆,有

  ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。

  若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有

  ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。 相关性质的证明

  连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段

  AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2

  A.G.C.P共圆==>∠2=∠3

  PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4 ==>∠1=∠4 PF⊥BC ==>PR=RQ

  BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圆==>∠6=∠7 ==>∠5=∠7

  AG⊥BC==>BC垂直平分GH ==>∠8=∠2=∠4

  ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH

  第二个问,平分点在九点圆上,如图:设O,G,H 分别为三角形ABC的外心,重心和垂心。 则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心,而G还是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1, 也在同一直线上,并且 HG/GO=GO/GO1=2,所以O1是OH的中点。

  三角形ABC和三角形XYZ位似,那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上,并且两圆半径比为1:2

  所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的

  所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上.... 五、托勒密定理

  1、定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 证明

  一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。)

  在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因为△ABE∽△ACD

  所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE,,∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似.

  BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得

  AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD

  (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明

  用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、

  设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA; 两式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、

  托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:圆内接四边形ABCD,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC.

  证明:如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP,AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.

  推论

  1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

  2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、 推广

  托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模, 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意:

  1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。

高中数学联赛常用定理整理(精简3篇)

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