染雾定积分证明题方法总结 篇一
定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下面的面积。在定积分的学习过程中，我们经常会遇到一些需要证明的题目。本文将总结一些常见的定积分证明题方法，帮助读者更好地应对类似的题目。
1. 利用定义证明法
定积分的定义是通过极限的概念来定义的，即将区间划分成无穷多个小区间，然后将每个小区间的长度趋近于零。利用这个定义，我们可以通过逐步逼近的方法来证明一些定积分的性质。例如，要证明定积分的线性性质，我们可以先证明对于一个常数函数，线性性质成立，然后再利用极限的性质推广到一般函数。
2. 利用积分的性质证明法
定积分具有一些重要的性质，例如积分的可加性、线性性等。在证明定积分的一些性质时，我们可以利用这些性质来简化证明过程。例如，要证明定积分的可加性，我们可以将被积函数拆分成多个部分，然后利用可加性证明定积分的可加性。
3. 利用定积分的几何意义证明法
定积分的几何意义是计算曲线下方的面积，这个几何意义可以帮助我们理解和证明一些定积分的性质。例如，要证明定积分的非负性，我们可以将被积函数表示成一个非负函数和一个负函数的和，然后利用几何意义来证明非负性。
4. 利用曲线的对称性证明法
有些定积分的证明可以利用曲线的对称性来简化。例如，如果被积函数是一个偶函数，那么定积分的值可以通过将积分区间变为负半轴到正半轴的两倍来计算。同样，如果被积函数是一个奇函数，那么定积分的值为零。
5. 利用变量代换证明法
在一些复杂的定积分中，我们可以通过变量代换来简化计算。变量代换可以将一个复杂的积分变为一个简单的积分。例如，对于形如∫(a,b) f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以通过变量代换 u=g(x) 来将积分转化为∫(g(a),g(b)) f(u)du 的形式，从而简化计算。
综上所述，定积分证明题的解题方法可以多种多样。我们可以根据具体问题的特点，选择合适的方法来进行证明。希望本文总结的方法能够帮助读者更好地理解和应用定积分的证明题。
定积分证明题方法总结 篇二
在微积分的学习过程中，定积分是一个非常重要的概念。在定积分的学习中，我们经常会遇到一些需要证明的题目。本文将总结一些常见的定积分证明题方法，帮助读者更好地应对类似的题目。
1. 利用积分的定义证明法
定积分的定义是通过极限的概念来定义的，即将区间划分成无穷多个小区间，然后将每个小区间的长度趋近于零。利用这个定义，我们可以通过逐步逼近的方法来证明一些定积分的性质。例如，要证明定积分的线性性质，我们可以先证明对于一个常数函数，线性性质成立，然后再利用极限的性质推广到一般函数。
2. 利用积分的性质证明法
定积分具有一些重要的性质，例如积分的可加性、线性性等。在证明定积分的一些性质时，我们可以利用这些性质来简化证明过程。例如，要证明定积分的可加性，我们可以将被积函数拆分成多个部分，然后利用可加性证明定积分的可加性。
3. 利用几何意义证明法
定积分的几何意义是计算曲线下方的面积，这个几何意义可以帮助我们理解和证明一些定积分的性质。例如，要证明定积分的非负性，我们可以将被积函数表示成一个非负函数和一个负函数的和，然后利用几何意义来证明非负性。
4. 利用函数的周期性证明法
有些函数具有周期性，即在一个周期内函数值相同。在定积分的证明中，如果被积函数具有周期性，我们可以将积分区间扩展到一个周期内，然后利用周期性来简化计算。例如，对于一个具有周期 T 的函数 f(x)，我们可以将积分区间从 (a,b) 扩展到 (a,b+nT)，其中 n 是整数。
5. 利用变量代换证明法
在一些复杂的定积分中，我们可以通过变量代换来简化计算。变量代换可以将一个复杂的积分变为一个简单的积分。例如，对于形如∫(a,b) f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以通过变量代换 u=g(x) 来将积分转化为∫(g(a),g(b)) f(u)du 的形式，从而简化计算。
综上所述，定积分证明题的解题方法可以多种多样。我们可以根据具体问题的特点，选择合适的方法来进行证明。希望本文总结的方法能够帮助读者更好地理解和应用定积分的证明题。
定积分证明题方法总结 篇三
摘要:结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。为使学生熟练掌握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方法,简单进行了整理归类。
关键词:积分方法 第一类换元法第二类换元法 分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。
1 直接积分法
直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。
一、原函数与不定积分的概念
定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF
f(x)
(x)f(x)dx
,则称F(x)为f(x)的一个原函数
定义2.函数
f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:
f(x)dxF(x)C
f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数
“
其中
”叫做积分号
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即
f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.
性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即
f(x)dxf(x)C,
或df(x)f(x)C
性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即
kf(x)dxkf(x)dx
(k0).
性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
基本积分公式
(1)kdxkxC(k为常数)
(2)xdx
1
1
x
1
C
(1)
1
(3)xlnxC
x
(4)exdxexC
(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)
11x
11x
2
(5)a
x
dx
a
x
lna
C
(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC
(11)
cscxcotxdxcscxC
(13)cscxdxlncscxcotxC (15)
1x
2
2
xarctanxC
xarcsinxC
xarcsinxC
三、换元积分法和分部积分法
定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有
f[(x)](x)dxF(u)C
凑微分
f[(x)]d(x)
令u(x)
f(u)du
代回u(x)
F((x))C
该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F
(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函
(t)，则
xt换元
fxdx
fttdt
积分
FtC
t
1
x
回代
1
FxC.
该方法叫第二换元积分法
定积分证明题方法总结 篇四
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>= ()dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)
b)当0 2.估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a)<= <=M(b-a) 3.具体函数的定积分不等式证法 1)积分估值定理 2)放缩法 3)柯西积分不等式 ≤ % 4.抽象函数的定积分不等式的证法 1)拉格朗日中值定理和导数的有界性 2)积分中值定理 3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 1、经验总结 (1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 一、不定积分的概念和性质 若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！ 性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或 df(x)dxf(x) dx 性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C 性质3[f(x)g(x)]dx 或[f(x)g(x)]dx 二、基本积分公式或直接积分法 基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx kdxkxC xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax edxeCadxlnaC xx cosxdxsinxCsinxdxcosxC dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC dxarctanxCarccotx C（）1x2arcsinxC（arccosxC） 直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法： 1.第一类换元法（凑微分法） g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x) 注 (1)常见凑微分： u(x)f(u)du[F(u)C]u(x). 111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x| c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2 (2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况： 若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类； (3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)； (4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项； 2.第二类换元法 f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型: (1) 对被积函数直接去根号; (2) 到代换x1; t (3) 三角代换去根号 x atantxasect、 xasint(orxacost) f(xdx，t f(xx，x asect f(xx，xasint f(xx，xatant f(ax)dx，ta x f(xx，t 三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx. 注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v; (2)uvdx要比uvdx容易计算； (3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如： arcsinx1dx， u v (4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t； 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的.充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。 ●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a 定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)定积分证明题方法总结 篇五
定积分证明题方法总结 篇六
