染雾高考数学空间向量与立体几何 篇一
在高考数学中，空间向量与立体几何是一个重要的考点，涉及到了三维几何的概念和相关的计算方法。掌握了这些知识，不仅可以解决与空间有关的几何问题，还可以拓宽数学思维，培养空间想象力。
首先，我们来了解一下空间向量的基本概念。空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量，它可以用有序三元组表示。在几何上，我们可以用向量表示线段，向量的起点和终点分别对应线段的起点和终点。空间向量的长度称为向量的模，记作|AB|，表示向量AB的长度。空间向量的方向由向量的起点和终点所确定，我们可以用箭头表示向量的方向。
在解决几何问题时，我们经常需要进行向量的运算。空间向量的加法和减法与平面向量的运算类似，只是多了一个维度。具体地说，空间向量的加法满足平行四边形法则，空间向量的减法可以通过加上相反向量来实现。此外，我们还可以对空间向量进行数乘运算，即将向量的长度乘以一个实数。
空间向量与立体几何有着密切的联系。在解决立体几何问题时，我们经常需要利用向量的性质进行推导和计算。例如，通过向量的点积可以求得两个向量之间的夹角，通过向量的叉积可以求得两个向量所确定的平面的法向量。这些性质在解决立体几何问题时起到了重要的作用。
除了向量的运算和性质，我们还需要掌握一些与立体几何相关的概念和定理。例如，平行四边形法则可以帮助我们判断向量的平行和共线关系；平面的方程可以帮助我们确定平面的位置和方向；直线与平面的交点可以帮助我们求解几何问题等等。
综上所述，高考数学中的空间向量与立体几何是一个重要的考点，掌握了这些知识可以帮助我们解决与空间有关的几何问题，培养空间想象力，提高数学思维能力。因此，我们应该认真学习空间向量与立体几何的知识，通过大量的练习和实践，提升自己的解题能力。
高考数学空间向量与立体几何 篇二
立体几何是高考数学中的一个重要考点，涉及到了空间图形的性质和相关的计算方法。在解决立体几何问题时，我们需要掌握一些基本概念和定理，同时还需要灵活运用向量的性质和运算方法。
首先，我们来了解一下立体几何中的基本概念。立体几何是研究空间图形的一门学科，它包括了三维空间中的点、线、面、体等概念。在几何中，我们将点的集合称为线，将线的集合称为面，将面的集合称为体。立体几何的研究对象包括了球体、圆柱、圆锥、棱锥、棱台等各种几何图形。
在解决立体几何问题时，我们经常需要利用向量的性质和运算方法。例如，通过向量的点积可以求得两个向量之间的夹角，通过向量的叉积可以求得两个向量所确定的平面的法向量。这些性质在解决立体几何问题时起到了重要的作用。
同时，我们还需要掌握一些与立体几何相关的定理和公式。例如，平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边互相平行，平行四边形的对边等长等等。这些定理和公式可以帮助我们推导和计算立体几何问题。
在解决立体几何问题时，我们还需要注意一些常见的解题方法。例如，利用相似三角形的性质可以求解棱台和棱锥的体积，利用平行四边形的性质可以求解平面的方程等等。这些方法可以帮助我们简化问题，提高解题效率。
综上所述，高考数学中的立体几何是一个重要的考点，掌握了这些知识可以帮助我们解决与空间图形有关的几何问题，提高数学思维能力。因此，我们应该认真学习立体几何的知识，通过大量的练习和实践，提升自己的解题能力。
高考数学空间向量与立体几何 篇三
2017年高考数学空间向量与立体几何
导语:没有承受困难的能力，就没有希望了。下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关注CNFLA学习网!
空间向量
一、空间向量知识点
1.空间向量的概念：
定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
ⅰ定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用 表示。
ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。
2.空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3 共线向量
ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线;
ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量 平行的充要条件是：存在实数λ，使 。
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作.
当我们说向量、共线(或//)时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.
4.共线向量定理及其推论
共线向量定理：空间任意两个向量、(≠)，//的充要条件是存在实数λ，使=λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式
.
其中向量叫做直线的方向向量.
5.向量与平面平行
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：.
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6.共面向量定理
ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或 在α内，则说向量 平行于平面α，记作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是：存在实数对x、y，使 。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当 、 、 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是 、 、 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得 ，或对于空间任意一定点O，有 。
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有 ①
①式叫做平面的向量表达式
7 空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
推论：设是不共面的`四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个
有序实数，使
8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作;且规定，显然有;若，则称与互相垂直，记作：.
9.向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.
10.向量的数量积：
ⅰ定义：已知空间两个非零向量 、 ，则 叫做向量 、 的数量积，记作 ，即： 。
ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。
ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量 、 的点积(或内积)，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。
ⅳ数量积的几何意义： 叫做向量 在 方向上的投影(其中θ为向量 和 的夹角)。
即：数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。
.
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影.
可以证明的长度.
11.空间向量数量积的性质：
(1).(2).(3).
12.空间向量数量积运算律：
(1).(2)(交换律)(3)(分配律).
二.空间向量的坐标运算知识：
(1)空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标)，y轴是纵轴(对应为纵轴)，z轴是竖轴(对应为竖坐标).
①令=(a1,a2,a3),，则
∥
(用到常用的向量模与向量之间的转化：)
②空间两点的距离公式：.
(2)法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.
(3)用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(方向相同，则为补角，反方，则为其夹角).
③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.(常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交).
二、复习点睛：
1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。
3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。
2、空间向量的坐标表示：
(1)空间直角坐标系：
①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底 ，以点O为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。
②右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向;
③构成元素：点(原点)、线(x、y、z轴)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);
④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的一半;
(2)空间向量的坐标表示：
①已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量(如图)，
由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。
②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。
③空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当 与 的方向相同时，x>0，当 与 的方向相反时，x<0，同理可确y、z(如图)。
④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。
⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设 ， ，
则：
(3)空间向量的直角坐标运算：
⑦空间两点间距离： ;
⑧空间线段 的中点M(x，y，z)的坐标： ;
⑨球面方程：
4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。
5、空间直角坐标系中的特殊点:
(1)点(原点)的坐标：(0,0,0);
(2)线(坐标轴)上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z);
(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z)
6、要使向量 与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为0即可。
7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面;
8、只要将 和 代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样;
9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任意不共面的三个向量 都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。
